• Se você fornece data, hora e local de nascimento, um astrólogo monta o seu Mapa Astral.

• De acordo com a astrologia, a posição dos astros no momento em que nascemos influencia nossa maneira de ser. - Wikipedia

• As configurações de um Mapa Astral se repetem apenas a cada 26.000 anos, portanto ele é quase como uma impressão digital - não existe um igual ao outro. - Wikipedia

• Há comprovação científica de que seu mapa astral reflete sua personalidade?

Um teste foi feito da seguinte maneira: 116 pessoas selecionadas aleatoriamente forneceram data, hora e local de nascimento.

Um astrólogo preparou um mapa astral para essas 116 pessoas, usando apenas os dados fornecidos acima.

Cada voluntário também preencheu um questionário: "California Personality Index".

Para um outro astrólogo, foram dados:

• data, hora, local, Mapa Astral de um dos voluntários, por exemplo, voluntário 3.

• questionário de personalidade preenchidos pelo voluntário 3.

• 2 questionários de personalidade, escolhidos ao acaso entre os 115 restantes, preenchidos por outros dois voluntários.

• Ao astrólogo, pediu-se então para identificar qual questionário havia sido preenchido pelo dono daquele Mapa Astral.

• 28 astrólogos foram selecionados aleatoriamente a partir de uma lista de astrólogos familiarizados com o "California Personality Index".

• A lista foi preparada pelo "National Council for Geocosmic Research".

• Vimos que podemos estudar fenômenos aleatórios definindo variáveis aleatórias e teoria da probabilidade.

• Um astrólogo pode associar corretamente o questionário ao mapa astral ou não.

• Para cada situação, há uma probabilidade associada. Portanto temos um evento aleatório.

• Objetivo em muitos estudos: checar se os dados apóiam certas afirmações que são feitas para uma população.

• Afirmações a serem testadas: hipóteses.

• Expressamos as hipóteses em termos dos parâmetros da população.

• Por exemplo: o parâmetro pode ser uma proporção populacional.

Hipótese: Usando o mapa astral de uma pessoa, a probabilidade \(p\) de um astrólogo predizer corretamente qual dos 3 questionários está associado àquele mapa astral é igual a \(1/3\). Ou seja, os astrólogos apenas selecionam ao acaso um dos questionários.

Nesse caso, para saber se os astrólogos têm a capacidade de predizer a personalidade usando o mapa astral, usaríamos as seguintes hipóteses:

\[ \begin{cases} H_0: p = 1/3 & \mbox{(hipótese nula)} \\ H_A: p > 1/3 & \mbox{(hipótese alternativa)} \end{cases} \]

No experimento com os 28 astrólogos, observar uma proporção alta de acertos pode ser uma evidência contra a hipótese de que \(p=1/3\).

No experimento dos astrólogos, \(H_0\): \(p=1/3\) representa a hipótese de que não há efeito, no sentido de que os astrólogos não têm uma capacidade maior de predizer a personalidade usando o mapa astral.

A hipótese alternativa, \(H_A\): \(p>1/3\), representa a hipótese de que há efeito, ou seja, os astrólogos têm uma capacidade de predizer a personalidade usando o mapa astral.

Em teste de hipóteses, mantém-se a favor de \(H_0\) a menos que os dados tragam grande evidência contra.

A hipótese nula é conservadora: "o réu é inocente até que se prove o contrário".

• Passo 3: Estatística do teste

Vimos que podemos usar uma estatística para estimar um parâmetro populacional. A estatística do teste descreve quão longe do parâmetro populacional usado na \(H_0\) a estimativa está.

Por exemplo, se \(H_0:\) \(p=1/3\), e se \(\widehat p=40/116=0.345\), queremos uma estatística que quantifique quão longe está \(\widehat p=0.345\) de \(p=1/3\).

• Passo 4: valor-de-p

Para interpretar uma estatística do teste, vamos usar uma probabilidade para resumir a evidência contra \(H_0\). Esta probabilidade é chamada de valor-de-p.

• Passo 5: Conclusão

Baseado no valor-de-p, decidir se rejeita ou não a hipótese nula. Note que a conclusão é sempre em termos da hipótese nula: rejeitar ou não \(H_0\).

Mas quão pequeno deve ser o valor-de-p para ser considerado forte evidência contra \(H_0\)?

Geralmente, fixamos o nível de significância do teste (\(\alpha\)), e usamos a seguinte regra. É comum usarmos \(\alpha=0.05\).

• Se valor-de-p \(\leq \alpha\): rejeitamos \(H_0\), ou seja, os dados trazem forte evidência contra a hipóstese nula
  
• Se valor-de-p > \(\alpha\): não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não temos evidência nos dados contra a hipótese nula

Assumimos primeiro que \(H_0\) é verdadeira.

Consideramos então todos os valores possíveis para a estatística do teste, de acordo com sua distribuição amostral.

Calculamos a estatística do teste observada para o experimento realizado e verificamos onde, na distribuição amostral, ela se posiciona.

Calculamos a probabilidade de um valor igual ou mais extremo ao da estatística do teste observada (valor-de-p). Mais extremo: mais evidência contra \(H_0\).

Se o valor-de-p obtido é bem pequeno, por exemplo, \(0.01\), isto quer dizer que se \(H_0\) é verdadeira, então seria incomum obter uma amostra com os resultados como o observado. Um valor-de-p muito baixo traz fortes evidências contra \(H_0\).

Passo 1: Suposições

• A variável de interesse é binária.

• \(X_i\): astrólogo \(i\) associa corretamente um questionário ao mapa astral, ou seja,
  \[X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p).\]

• Os dados foram obtidos usando processo de aleatorização: uma amostra aleatória de voluntários e astrólogos foi feita.

• Temos uma a.a. de tamanho \(116\). Portanto, a distribuição amostral da estimativa para \(p\), \(\widehat p\), tem distribuição aproximadamente normal, pelo TCL.

Passo 2: Hipóteses

• \(H_0\): \(p = p_0 = 1/3\).

• \(H_A\): \(p > p_0 = 1/3\).

Em outras palavras:

• \(H_0\): Astrólogos chutam qual o questionário está associado ao mapa astral.

• \(H_A\): Astrólogos predizem melhor do que um chute qual o questionário está associado ao mapa astral.

Passo 3: Estatística do teste

• Estatística do teste mede quão longe está a proporção amostral, \(\widehat p\), da proporção populacional, \(p\), assumindo que \(H_0\) seja verdadeira?

• Sabemos que: \[\widehat p\sim\mbox{N}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\]

• Se \(H_0\) é verdadeira (\(p=p_0\)), então: \[\widehat p\sim\mbox{N}\left(p_0,\frac{p_0(1-p_0)}{n}\right)\]

Passo 3: Estatística do teste

• A estatística do teste é: \[Z=\frac{\widehat p-p_0}{EP_0(\widehat p)}\] onde \(EP_0(\widehat p)\) é o erro padrão de \(\widehat p\) sob \(H_0\). Portanto,

\[Z=\frac{\widehat p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \overset{H_0}{\sim}\mbox{N}(0,1)\]

• A estatística do teste mede quão distante está \(\widehat p\) de \(p_0\) em unidades de "erro-padrão".

Passo 3: Estatística do teste

• No experimento dos astrólogos, dentre 116 mapas, 40 foram corretamente associados ao questionário de personalidade. \[\widehat p = 40/116 = 0.345\]

• A estatística do teste observada é: \[z_{obs}=\frac{\widehat p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}= \frac{0.345-1/3}{\sqrt{\frac{1/3(1-1/3)}{116}}}=0.27\]

• A proporção amostral está a 0.27 erro-padrão de distância da proporção populacional, segundo \(H_0\).

Passo 4: Valor-de-p

• Tendo observado \(z_{obs}=0.27\), isso traz evidência contra \(H_0\) a favor de \(H_A\)?

• Quão improvável é \(z_{obs}=0.27\) se a proporção de acertos dos astrólogos é de fato \(p=p_0=1/3\)?

• Valor-de-p: probabilidade de que uma estatística do teste assuma um valor igual ou mais extremo do que o observado, assumindo \(H_0\) verdadeira.

• Mais extremo: neste caso, é um maior valor de \(z_{obs}\), pois equivale a um maior \(\widehat p\), maior proporção amostral de acertos (astrólogos alegam que \(p>1/3\)).

• Valor-de-p: \(P(Z>z_{obs})=P(Z>0.27)=0.3936\), onde \(Z \sim \mbox{N}(0,1)\).

Distribuição amostral da estatística do teste \(Z\) sob \(H_0\).

valor-de-p (área em azul): representa a probabilidade de valores mais extremos que \(z_{obs}\) ocorrerem.

Passo 5: Conclusão

• O valor-de-p obtido no experimento foi 0.3936.

• O valor não é tão pequeno. Portanto, não temos evidências contra \(H_0\).

• Não podemos concluir que astrólogos têm poderes preditivos especiais usando mapa-astral.

Detalhes da pesquisa podem ser encontrados no artigo da revista Nature:
A double-blind test of Astrology.

Uma indústria farmacêutica diz que menos de 20% dos pacientes que estão usando um certo medicamento terão efeitos colaterais.

Realizou-se então um ensaio clínico com 400 pacientes e verificou-se que 68 pacientes apresentaram efeitos colaterais

Hipóteses: \(H_0: p = 0.20 \quad \mbox{vs} \quad H_A: p < 0.20\)

Estatística do teste: Da amostra temos que \(\widehat p = 68/400 = 0.17\) \[z_{obs} = \frac{\widehat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.17 - 0.20}{\sqrt{\frac{0.20(1-0.20)}{400}}} = -1.5\]

\[\mbox{valor-de-p} =P(Z \leq- 1.5) = 0.067\]

Conclusão: Para \(\alpha=0.05\), como o valor-de-p é maior que 0.05, não temos evidências nos dados para rejeitar a hipótese de que \(p=0.20\).

Na verdade, a evidência está na direção que a indústria farmacêutica queria, mas não é o suficiente para rejeitar \(H_0\).

E se estivéssemos testando: \(H_0: p = 0.20 \quad \mbox{vs} \quad H_A: p \neq 0.20\)

\(\begin{aligned} \mbox{valor-de-p} &=P(|Z| \geq 1.5) = P(Z \leq -1.5) + P(Z \geq 1.5) \\ &= 2P(Z \leq -1.5) = 2 \times 0.067=0.134 \end{aligned}\)

Conclusão: Para \(\alpha=0.05\), como o valor-de-p é maior que 0.05, não temos evidências nos dados para rejeitar a hipótese de que \(p=0.20\).

Algumas pessoas afirmam que conseguem distinguir o sabor da coca-cola normal da coca zero.

Faremos então um teste para comprovar se a afirmação é verdadeira.

Experimento:

• Sorteia-se, sem a pessoa saber, coca ou coca zero, usando um dado (se sair par, recebe uma coca-cola normal, se sair ímpar, uma coca zero.

• A bebida sorteada é então dada à pessoa, que deve experimentar e dizer que tipo de Coca-Cola está tomando.

• Repetimos isso 20 vezes e anotamos o total de acertos.

Suposições:

• Cada tentativa, \(X_i\), é uma Bernoulli\((p)\), em que \(p\) é a probabilidade de acerto.

• Estamos interessados no total de acertos em 20 tentativas: \(T=\sum_{i=1}^{20}X_i\sim\mbox{Bin}(20, p)\)

• Podemos usar a aproximação pela Normal caso as condições sejam satisfeitas.

Hipóteses:

• \(H_0: p=1/2\) (a pessoa não consegue diferenciar as duas bebidas)
• \(H_A: p>1/2\).

Estatística do teste: \(T=\sum_{i=1}^{20}X_i\sim\mbox{Bin}(20, p)\).

Valor-de-p: evidência contra \(H_0\). Calculamos a probabilidade, sob \(H_0\), de ocorrer um valor igual ou mais extremo ao valor observado no experimento.

Resultado do experimento:

Seja \(t_{obs}=19\) o número de acertos.

Valor-de-p: \(P(T\geq 19)=0\), onde \(T\overset{H_0}{\sim}\mbox{Bin}(20, 1/2)\).

Conclusão: Decidimos rejeitar \(H_0\).

Seja \(T\) é o número de acertos. Utilizando a aproximação pela Normal, temos que \(T \sim Bin(20, p)\).

A proporção amostral de acertos \(\widehat p = \frac{T}{20}= 19/20=0.95\).

Vamos testar o seguinte: \(H_0: p = 0.50 \quad \mbox{vs} \quad H_A: p > 0.50\).

Estatística do teste:

\[z_{obs} = \frac{\widehat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.95 - 0.5}{\sqrt{\frac{(0.50)(0.50)}{20}}} = 4.02\]

valor-de-p = \(P(Z \geq 4.02) = 0\)

Conclusão: Fixando \(\alpha=0.05\), rejeitamos a hipótese de que probabilidade de acertos é 50%.