Vimos até agora distribuições de probabilidade referentes a uma única variável aleatória.

Entretanto, é comum termos interesse em analisar probabilidades de duas ou mais variáveis aleatórias simultaneamente.

Ex: lançar uma moeda 3 vezes. Seja \(X_i\) a v.a. indicando o resultado do \(i\)-ésimo lançamento (\(X_i=1\), se cara e \(X_i=0\), se coroa). Então o resultado do experimento é representado pelo vetor aleatório: \[\mathbf{X}=(X_1,X_2,X_3)\]

Sejam \(X\) e \(Y\) duas v.a. discretas definidas no espaço amostral \(\Omega\) de um experimento e \(\mathbf{X}=(X,Y)\) o vetor aleatório. A função de probabilidade conjunta \(p(\mathbf{x})\) é definida para cada par de números \(\mathbf{x}=(x,y)\) por:

\[p(\mathbf{x})=p(x,y)=P(X=x, Y=y)\] Temos que \(p(\mathbf{x})\geq0\) e \(\sum_x\sum_yp(x,y)=1\).

Agora, seja \(A\) qualquer conjunto particular que consista em pares de valores \(\mathbf{x}\). Então: \[P[\mathbf{X}\in A]=\sum_{\mathbf{x}\in A}p(\mathbf{x})\]

Ex: \(A=\{(x,y): x+y=5\}\) ou \(A=\{(x,y): \max(x,y)\leq 3\}\).

Ao adquirir um seguro residencial ou para carro, a pessoa deve escolher o valor da franquia. Uma empresa oferece os seguintes valores de franquia para carro: \(\$100\), \(\$250\). Para residência: \(\$0\), \(\$100\), \(\$200\). Considere selecionar ao acaso um cliente com essas duas apólices na empresa.

\(X\): franquia do carro \(Y\): franquia da residência. Temos a seguinte tabela de probabilidade conjunta:

\(P(X=100,Y=0)=0.2\), \(P(X=250,Y=200)=0.30\).

\(X\): franquia do carro \(Y\): franquia da residência. Temos a seguinte tabela de probabilidade conjunta:

\(P(Y\geq 100) = P(X=100,Y=100)\) \(+P(X=250,Y=100)+P(X=100,Y=200)\) \(+ P(X=250,Y=200)=0.75\)

\(P(X=100) = P(X=100,Y=0)+P(X=100,Y=100)\) \(+P(X=100,Y=200)=0.50\)

A função massa de probabilidade marginal de \(X\), denotada por \(p_X(x)\) é dada por:

\[p_X(x)=\sum_{y:p(x,y)>0}p(x,y)\] A função massa de probabilidade marginal de \(Y\), denotada por \(p_Y(y)\) é dada por:

\[p_Y(y)=\sum_{x:p(x,y)>0}p(x,y)\]

A probabilidade de que o valor observado de uma v.a. contínua \(X\) fique no conjunto unidimensional \(A\) (um intervalo, por exemplo) é obtida ao integrar a f.d.p. \(f_X(x)\) sobre o conjunto \(A\).

A probabilidade de que o par \((X,Y)\) das v.a. contínuas caiam em um conjunto bidimensional \(A\) (um retângulo, por exemplo) é obtida ao integrar a chamada função da densidade conjunta.

Sejam \(X\) e \(Y\) v.a. contínuas. Uma f.d.p. conjunta \(f_{X,Y}(x,y)\) para essas duas v.a.’s deve satisfazer:

\[f_{X,Y}(x,y)\geq0\]

\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dxdy=1\]

Em particular, caso \(A\) seja o retângulo bidimensional \(\{(x,y): a\leq x\leq b,\, c<y\leq d\}\), então

\[P[(X,Y)\in A]=P(a\leq X\leq b,\,c\leq Y\leq d)=\int_a^b\int_c^df_{X,Y}(x,y)dydx\]

\[P[(X,Y)\in A]=P(a\leq X\leq b,\,c\leq Y\leq d)=\int_a^b\int_c^df_{X,Y}(x,y)dydx\]

é o volume sob a superfície de densidade, considerando a região \(A\).

As funções densidade de probabilidade marginal de \(X\) e \(Y\), denotadas por \(f_X(x)\) e \(f_Y(y)\), são dadas por:

\[f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dy\,,\quad -\infty<x<\infty\] \[f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dx\,,\quad -\infty<y<\infty\]

Duas v.a. \(X\) e \(Y\) são independentes se, para cada par de valores \(x\) e \(y\):

• se \(X\) e \(Y\) são discretas:

\[P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)\]

• se \(X\) e \(Y\) são contínuas:

\[f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\]

As v.a.’s \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) são ditas independentes se para cada subconjunto \(X_{i_1},X_{i_2},\ldots,X_{i_k}\) das variáveis (cada par, cada trip, etc…) a f.m.p. ou f.d.p. conjuntas do subconjunto for igual ao produto das f.d.p. ou f.m.p. marginais.

Sejam \(X\) e \(Y\) duas v.a. contínuas com f.d.p. conjunta \(f_{X,Y}(x,y)\) e f.d.p. marginal de \(X\) \(f_X(x)\). Então, para qualquer valor \(X\) de \(x\) para o qual \(f_X(x)>0\), a função densidade de probabilidade condicional de \(Y\) dado que \(X=x\) é:

\[f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}\quad -\infty < y < \infty\]

Se \(X\) e \(Y\) forem discretas, substituir as f.d.p. por f.m.p. nesta definição fornecerá a função massa de probabilidade condicional de \(Y\) quando \(X=x\).

É uma generalização do experimento de Bernoulli, podendo ter resultados possíveis em uma dentre \(r\) categorias.

Cada resultado possível

Modelo Multinomial

1. O resultado de cada experimento pode ser classificado em uma de \(r\) respostas.

2. A probabilidade da experimento assumir o valor \(i\) é \(p_{i}\), \(i=1, 2, \ldots,r\), com \[\sum_{i=1}^{r}p_{i}=1\]

3. As observações são independentes.

Considere repetições de \(n\) experimentos independentes e idênticos. Cada experimento pode resultar em uma dentre \(r\) categorias de resultados possíveis.

Denotaremos por \(X_i\) o total de experimentos que resultaram na categoria \(i\). Denotamos por \(p_i\) a probabilidade de um experimento resultar na categoria \(i\).

\(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_r)\sim Multinomial (n,p_1,p_2,\ldots,p_r)\) tem distribuição de probabilidade dada por:

\[P(X_1=n_1, X_2=n_2, \ldots , X_r=n_r)=\frac{n!}{n_1! \ldots n_r!}p_1^{n_1}p_2^{n_2} \ldots p_r^{n_r}\]

em que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{r}n_{i}=n\) e com \(\displaystyle \sum_{i=1}^{r}p_{i}=1\).

Note que \(r=2\), a distribuição Multinomial se reduz à Binomial.

Ex: urna com 3 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis.

Retiramos 3 bolas da urna, anotamos a cor sorteada, mas a bola é devolvida à urna depois de cada retirada (sorteio com reposição).

Seja \(\mathbf{X}=(X_1,X_2,X_3)\) o vetor aleatório representando o número de bolas vermelhas, brancas e azuis sorteadas, respectivamente.

Então \(\mathbf{X}\sim Multinomial(3,3/12,4/12,5/12)\).

Qual a probabilidade de obter 3 bolas azuis?

\[P(X_1=0,X_2=0,X_3=3)=(5/12)^3\]

Se designarmos a componente \(n_1\) como “sucesso” e juntarmos as demais numa mesma que designamos “fracasso”, a variável aleatória \(n_1\) é o número de sucessos em \(n\) ensaios de Bernoulli, ou seja, \(n_1 \sim Bin(n,p_1)\).

Portanto: \(\qquad \mathbb E(n_1)=np_1 \qquad\) e \(\qquad Var(n_1)=np_1(1-p_1)\).

Analogamente aplicando o mesmo argumento a cada \(n_i\) temos: \[\mathbb E(n_i)=np_i \qquad \mbox{e} \qquad Var(n_i)=np_i(1-p_i)\]

Exemplo: Suponha uma sequência de \(n\) ensaios de Bernoulli independentes com probabilidades de sucesso \(p\)

• Sejam X e Y os números de sucessos e fracassos, respectivamente
• A distribuição de massa conjunta é:

\[p_{X,Y}(k,n-k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\,, k=0,1,\ldots,n\]

Para cada \(k=0,1,2,\ldots,n\):

\[p_{Y\mid X}(l\mid k)=\begin{cases} 1\quad\mbox{se } l=n-k\\ 0\quad\mbox{caso contrário} \end{cases}\]

\[ \psi(k)=E(Y\mid X=k)=n-k\]

Portanto:

\[E(Y\mid X)=n-X\]

• Caso contínuo: Sejam \(X\) e \(Y\) v.a.’s contínuas e seja \(x\) um número real tal que \(f_X(x)>0\). A esperança condicional de \(Y\) dados \(X=x\) e dada por:

\[\psi(x)=E(Y\mid X=x)=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y\mid X}(y\mid x)dy\] Assim, como no caso discreto, \(\psi(.)\) é uma função da v.a. X, portanto é também uma v.a.:

\[\psi(X) = E(Y \mid X)\]

Seja \((X,Y)\) um vetor aleatório que segue a distribuição normal bivariada:

\[f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{(x^2-2\rho xy+y^2)}{2(1-\rho^2)}\right]\] em que \(\rho\in (-1,1)\).

As marginais de \(X\) e \(Y\) são normais (confira!).

\[f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}\quad -\infty < y < \infty\]

\[f_{Y\mid X}(y\mid x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left[ -\frac{(y-\rho x)^2}{1(1-\rho^2)}\right]\] \[Y\mid X=x\sim N(\rho x, (1-\rho^2))\]

\[\psi(x)=E(Y\mid X=x)=\rho x\]

\[\psi(X)=E(Y\mid X)=\rho X\]

Veja que à medida que a correlação \(\rho\) aumenta, as variáveis \(X\) e \(E(Y\mid X)\) se aproximam.

Sejam \(X\) e \(Y\) v.a.’s e \(g\) uma função real contínua. Então:

\[E(Y)=E[E(Y\mid X)]\]

\[E[Y g(X)]=E[E(Y\mid X)g(X)]\]

• Se \(X\) é uma v.a. discreta:

\[E(Y)=\sum_x E(Y\mid X=x)P(X=x)\]

• Se \(X\) é uma v.a. contínua:

\[E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}E(Y\mid X=x)f_X(x)dx\]

A medida de incerteza acerca da variável \(X\) para um valor específico (ou conhecido) de \(Y\) é chamada variância condicional, denotada por \(V(X|Y=y)\). Ela é definida por:

\[ \begin{aligned} V(X|Y=y) & = E([X-E(X|Y=y)]^2|Y=y) \\ & = E(X^2|Y=y) - E^2(X|Y=y) \end{aligned} \]

As principais propriedades da Variância Condicional são:

\[ \begin{aligned} V(X) & = E[V(X|Y)] + V[E(X|Y)] \\ V[E(X|Y)] & \leq V(X) \end{aligned} \]

Se \(X\) e \(Y\) forem independentes, então:

\[V[E(X|Y)] = V(X)\]

A densidade conjunta de \(X\) e \(Y\) é: \[ f(x,y) = \frac{e^{-x/y}e^{-y}}{y}, 0 < x < \infty, 0<y<\infty\]

Encontrem \(E(X|Y)\), \(E(X)\), \(V(X|Y)\) e \(V(X)\).

Solução:

1. Encontre \(f_{X|Y}(x|y)\)
2. Encontre \(E(X|Y)\)
3. Encontre \(V(X|Y)\)
4. Encontre \(E(X)\)
5. Encontre \(V(X)\)

Encontrem:

• Distribuição condicional de \(Y|X\);
• \(E(Y|X=x)\) e a sua distribuição;
• \(E(Y)\) pela distribuição marginal e pela condicional;
• \(V(Y|X=x)\) e sua distribuição;
• \(V(Y)\) diretamente e condicionando em \(X\).

• Devore: capítulo 5.
• Magalhães: capítulo 5.

Slides produzidos pelos professores:

• Samara Kiihl

• Tatiana Benaglia

• Benilton Carvalho